2026 年HMMTNovember 于 2026 年 11 月 7 日举行．保留各轮原题号．
题目 · General（综合轮）
第1题 · GEN
下图的 方格表中，每个格子都填入一个一位正整数，且任意两个相邻格子中的数之差的绝对值为 或 ．求八个数的和．
第2题 · GEN
设 为正实数，直线 与抛物线 相交于两点，这两点的横坐标相差 ，纵坐标相差 ．求 ．
第3题 · GEN
猴子 Eric 一开始没有香蕉．每天早晨，Eric 可以选择去超市买一把恰好有 根的香蕉，每天至多买一把．Eric 至多只能去超市 次．每天晚上，Eric 必须吃掉 根香蕉，否则就会死去．求 Eric 能够存活 个晚上的购香蕉方案数．
第4题 · GEN
如图，面积为 的正方形 沿直角三角形 的斜边 放置．已知 到直线 的距离分别为 ，求 ．
第5题 · GEN
设 是使 和 都为正有理数的唯一实数．求 ．
第6题 · GEN
设 为锐角三角形 的外心， 为边 上的点，满足 、 ．已知 ，求 ．
第7题 · GEN
一个 的单位正方形方格表，其行、列依次编号为 至 ．删去行号和列号均为偶数的所有格子．求将剩余图形分割为边长都是整数的矩形的方案数．
第8题 · GEN
如图，六个半径为 的圆按图示方式排列，每个圆都与另两个圆相切．这些切点构成一个圆内接六边形的六个顶点，其外接圆半径为 ．求这个六边形的面积．
第9题 · GEN
设 为正整数数列，满足 ，且
求 除以 的余数．
第10题 · GEN
HMMTland 国有 座城市．工程师计划在每一对城市之间修建一条隧道，并将互不相同的建设费用 随机分配给这些拟建隧道，每一种分配等可能．每座城市只资助与它相连的、费用最低的那条隧道．一条隧道只要获得至少一座城市的资助就会建成；若获得不止一座城市资助，也只修建一次．求最终隧道系统的连通分量数的期望．
（连通分量是城市的一个极大非空集合，其中任意一座城市都能沿已建隧道到达集合中的任意另一座城市．）
题目 · Theme（主题轮）
第1题 · THM
Moana 把四块长方形木板绑在一起，搭成一个正方形木筏．所有木板的边长都是整数，其中三块的面积分别为 ，位置如图．求第四块木板的面积．
第2题 · THM
Ariel 正在整理她收集的人类宝物．她的 dinglehopper 可以恰好分成每组 件，snarfblatt 可以恰好分成每组 件．将这两类宝物合在一起，又可以恰好分成每组 件．求 Ariel 收藏的这两类宝物的非零总件数的最小可能值．
第3题 · THM
Jasmine 正在为飞毯设计新图案．她的第一稿是一个正方形．要画第 稿，她从第 稿出发，对图中由线段围成的每一个多边形区域，将其各对相邻边的中点用线段连接．前三稿如图，分别包含 个多边形区域．求第 稿中的多边形区域数．
第4题 · THM
经历最近的一些事情后，Snow White 决定重新开始吃苹果．她在第 天吃 个苹果．对每个正整数 ，她在第 天吃的苹果数，是此前所有天吃的苹果总数的 倍．求她在第 天吃的苹果数．
第5题 · THM
Rapunzel 的头发又长得太长，于是她决定在接下来的 天里每天剪发．第一天开始时，她的头发长 英尺．她先选定一个正整数 ．然后在第 天，先剪去 英尺，再剪去剩余头发长度的 ．假设头发不会重新长出，且这 天每天结束时，头发长度都是整数英尺．求 的最小可能值．
第6题 · THM
Raya 骑着龙 Sisu 在 Kumandra 上空飞行时，发现一座想要前往的小圆岛．起初，她们位于点 的正上方．岛屿由所有满足 的点 组成．无风时，Sisu 可以沿任意方向以每小时 个单位长度的速度飞行．此外，风沿 轴正方向以每小时 个单位长度的恒定速度推动 Sisu．求她们到达岛屿任一点正上方所需的最短时间，以小时为单位．（假设整个飞行过程中高度不变．）
第7题 · THM
Mulan 命令 名士兵站成一排．每名士兵独立地、等可能地指向自己相邻士兵中的一人．求恰有 对相邻士兵互相指向对方的概率．
第8题 · THM
Cinderella 的南瓜马车由两个圆形车轮和一个圆形南瓜组成，三者都与同一条线段相切．马车停在平地上时，南瓜的最左点位于左轮最右点的正上方，南瓜的最右点位于右轮最左点的正上方．两轮半径分别为 ，且整辆马车的高度为 ．求南瓜的半径．
第9题 · THM
求满足 和 的唯一正整数三元组 ．
第10题 · THM
Merida 在城堡墙上画了一个边长为 个单位长度的等边三角形 ，并尝试向三个顶点各射一箭．然而三箭分别落在 ，且它们到 的距离分别为 个单位长度．此外，三角形 与三角形 的重心重合．求三角形 面积的最大可能值．
题目 · Team（团队轮）
第1题 · TEAM（20分）
Jerry 和 Sophie 各自得到一个数．两人都被告知以下信息：
- 他们的数是 到 之间（含端点）的两个不同整数．
- Jerry 的数是 Sophie 的数的某个整数次幂．然而，仅根据这些信息，两人都无法确定对方的数．求这两个数之和．
第2题 · TEAM（25分）
当 遍历所有正整数时，求表达式
所能取到的最小整数值．
第3题 · TEAM（30分）
点 分别在两条平行直线 上．点 位于两平行线之间，满足 ，且 位于直线 的同一侧．已知 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，且 ．求 的度数．
第4题 · TEAM（35分）
正整数数列 满足 ，且对所有整数 ，有
求小于 、且能表示为某个 （其中 为正整数）的正整数 的个数．
第5题 · TEAM（40分）
一个正圆锥的顶点为 ，底面半径为 ，高为 ．两个互相垂直的平面分别沿线段 与圆锥侧面相切，其中 位于圆锥的底面圆周上．求 ．
第6题 · TEAM（45分）
已知 均为大于 的整数，且 是整数．求 的最小可能值．
第7题 · TEAM（45分）
Alice 有 个球和 个盒子，球与盒子都分别编号为 ．她要在每个盒子中恰好放一个球，并且恰有一个球的编号严格大于所在盒子的编号．求满足条件的放法数．
第8题 · TEAM（50分）
在三角形 中， ．在线段 上选取点 ．点 满足 、 ，且四边形 是以 为对称轴的筝形．选取 使 最大，求此时的 ．
第9题 · TEAM（50分）
实数 满足
求 ．
第10题 · TEAM（55分）
用图示的 O 型四格骨牌、T 型四格骨牌和 L 型三格骨牌铺满一个 的方格板，设铺法数为 ．求 除以 的余数．（骨牌可以旋转；只要两种铺法在旋转或反射后才相同，就仍视为不同铺法．）
题目 · Guts（团队限时轮）
第1题 · GUTS（5分）
在下图的 方格中，每格填一个非负的一位整数，使任意相邻两格内的数之积都能被 整除．求九个数之和的最小值．
第2题 · GUTS（5分）
如图，分别以直角三角形 的三条边为边向外作正方形．以直角边 、 为边的正方形的周长分别为 、 ．求以斜边 为边的正方形的周长．
第3题 · GUTS（5分）
求由三个字母 、三个字母 和三个字母 组成的九字母字符串的个数，要求每个 都与另一个 直接相邻，每个 都与另一个 直接相邻，每个 都与另一个 直接相邻．
第4题 · GUTS（6分）
求最大的两位正整数 ，使 为完全平方数．
第5题 · GUTS（6分）
如图，三个半径为 的四分之一圆置于一个较大的四分之一圆内．求阴影部分的面积．
第6题 · GUTS（6分）
白雪公主与七个小矮人围坐一圈，面向圆心．最初白雪公主持有一个装着 个苹果的篮子，其中 个有毒，其余无毒．每分钟，持篮者从篮中剩余的苹果中等可能地随机选取一个吃掉，再将篮子递给左边的人．各次选择独立进行，这个过程在有人吃到毒苹果时停止．求白雪公主没有吃到毒苹果的概率．
第7题 · GUTS（7分）
实系数二次多项式 满足 及 ．求 ．
第8题 · GUTS（7分）
Jason 将一个 正方形分成 个单位正方形，并去掉其中 个，得到下图的“井”字形区域．他在该区域内画一条线段，允许线段接触区域边界．求这条线段可能的最大长度．
第9题 · GUTS（7分）
Hannah 有 支颜色各不相同的彩色铅笔，它们构成 对互补色．她随机给一面由三条水平色带构成的旗帜涂色，要求三条色带颜色两两不同．求任意相邻两条色带都不是互补色的概率．
第11题 · GUTS（8分）
Mark 将一枚公平的六面骰子掷 次，按顺序记录点数，组成一个六位数．求这个数是 的倍数的概率．
第12题 · GUTS（8分）
求最小的正整数 ，使下列五个整除关系同时成立：
第13题 · GUTS（9分）
一条环形项链由 颗红珠和 颗绿珠串成．Stella 将其切成珠数相等的两半，并取走其中一半．已知对所有切法而言，她所取的一半中红珠数的最小值为 ，绿珠数的最小值为 ．在所有满足条件的珠子排列中，求 的最大可能值．
第14题 · GUTS（9分）
实数 成等比数列，且 、 ．求 ．
第15题 · GUTS（9分）
如图，一个等边六边形被分成一个正方形和两个菱形．已知两个菱形的面积分别为 和 ，求这个六边形的边长．
第16题 · GUTS（10分）
设 是满足下列条件的最小正整数： ，且对 的任意正因数 ， 的正因数个数也是 的因数．求 ．
第17题 · GUTS（10分）
星期一，Steve 在黑板上写下一个非零的一位数，且它是 的倍数．之后每天，他都在当前数的任意位置插入一个非零数字，可以插在最前面、中间或最后面，并要求新数仍是 的倍数．求星期四黑板上可能出现的四位数的个数．
第18题 · GUTS（10分）
点 在线段 上， 为三角形，且 、 ．点 在直线 上，满足 ，且 位于 之间．求 的最小可能值．
第19题 · GUTS（11分）
四个正的最简分数 、 、 、 满足
已知 、 、 ，求 的最小可能值．
第20题 · GUTS（11分）
在三角形 中， ．圆 以 为圆心，并经过边 的中点．已知过 、 分别可以作圆 的两条互相平行的切线，且点 到直线 的距离为 ．求圆 的半径．
第21题 · GUTS（11分）
求由字母 组成的长度为 的字符串的个数，要求其形如 的连续子串个数与形如 的连续子串个数相等．
第22题 · GUTS（12分）
求整数
的十进制各位数字之和．其中 表示不超过 的最大整数．
第23题 · GUTS（12分）
若由互不相同的正整数组成的集合 满足：对任意有序三元组 （三个元素可以相同），都有 ，则称 为“整除丰富集”．求最小的正整数 ，使某个恰有 个元素的整除丰富集包含 ．
第24题 · GUTS（12分）
Gregasaurus 有一张边长为 的正方形纸，其中一个顶点标有红点．一次折叠包含以下步骤：
- 选一条经过正方形内部的直线 ，将正方形分成两部分．
- 任选其中一部分，将其关于 反射．
他恰好折叠一次．求最小区域 的面积，使无论怎样折叠，红点都一定落在 中．
第25题 · GUTS（13分）
设 是次数不超过 的多项式，且对于所有 ，有 ．求 ．
第26题 · GUTS（13分）
Sophia 从一个 的点阵中等概率地选出 个点．已知每行、每列恰有 个点被选中，求所选点中有 个构成边与点阵行列平行的矩形的概率．
第27题 · GUTS（13分）
Crystal 在日记里写下两个五位正整数，十个数字 各使用一次，且不允许有前导零．求这两个数之差的绝对值的各位数字之和的最大值．
第28题 · GUTS（15分）
一百名玩家 玩一个游戏．玩家 的硬币正面朝上的概率为 ．第 轮由玩家 抛自己的硬币，其中下标按模 循环．若正面朝上，游戏立刻结束，该玩家获胜；否则轮到下一名玩家．已知每名玩家获胜的概率都是 ，且 ，求 ．
第29题 · GUTS（15分）
凸五边形 的面积为 ，且 ，边长满足 、 、 、 、 ．求 ．
第30题 · GUTS（15分）
存在一个实系数二元多项式 ，其总次数不超过 ，且 为下表第 行、第 列的数．这里行从下往上编号，列从左往右编号．
求 ，即表格右上角的数．
第31题 · GUTS（17分）
设 为圆内接四边形，射线 、 相交于 ，射线 、 相交于 ．三角形 、 、 、 的内切圆半径依次为 ．求四边形 的面积．
第32题 · GUTS（17分）
Mark 有一个质量为 克的放射性小球．在第 分钟，每个放射性小球都有 的概率分裂成两个放射性小球，每个新球的质量都是 克，不论原球的质量以及原球何时产生．求 分钟后所有小球总质量的期望，单位为克．
第33题 · GUTS（17分）
的十进制展开的循环节长度为 ．求这个循环节内各位数字的平方和．
第34题 · GUTS（20分）
Krad 从数 开始．每一步，若当前数为 ，就从 的所有正因数中等概率选一个，替换当前数．设 步后当前数为 的概率是 ，估计 ．
请提交一个实数 ．若正确答案为 ，得分为 ．
第35题 · GUTS（20分）
Sam 有一块标准的 黑白相间棋盘．随后，他以 的概率将每个白格涂黑，各白格是否涂黑相互独立．估计此时棋盘上黑色连通区域个数的期望．
请提交一个实数 ．若正确答案为 ，得分为 ．
一个黑色连通区域是满足下述性质的极大黑格集合：集合中任意两个黑格之间，都有一条只经过该集合内黑格的路径，且路径上相邻两格共享一条边．
第36题 · GUTS（20分）
求满足以下两个条件的正整数 的个数：
- 不是 或 的倍数；
- 不存在与 位数相同、且至多在一个十进制数位上与 不同的素数 ．
请提交一个正整数 ．若正确答案为 ，得分为 ．
